Question

已知：F₁，F(xiàn)₂為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線y=x與橢圓交于B、C兩點(diǎn)（C在第一象限），

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|，|

AB

|=

10

．
（1）求此橢圓的方程．
（2）若P、Q是橢圓上的兩點(diǎn)，并且滿足(

CP

| CP |

+

CQ

| CQ |

)•

F1F2

=0，求證：向量

PQ

與

AB

共線．

Answer 1

分析：（1）設(shè)|AC|=m，|BC|=2m，根據(jù)|

AB

|=

10

，

AC

•

BC

=0，計(jì)算|AC|，利用△COA是等腰直角三角形，可得a²=4，C（1，1）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得b2=

4

3

，從而可求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1

得（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，從而可求PQ的斜率，利用kAB=

1

3

，所以PQ與AB平行，所以

PQ

與

AB

共線．

解答：（1）解：設(shè)|AC|=m，|BC|=2m
∵|

AB

|=

10

，

AC

•

BC

=0，
∴m²+4m²=10
∴m=

2

∵△COA是等腰直角三角形
∴a²=4，C（1，1）
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得b2=

4

3

∴橢圓的方程為

x2

4

+

3y2

4

=1
（2）證明：設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，
由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1

得（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∴1×xp=

3k2-6k-1

3k2+1

，
∴xp=

3k2-6k-1

3k2+1

，
同理xQ=

3k2+6k-1

3k2+1

，
∴kPQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP-1)+1+k(xQ-1)-1

xP-xQ

=

k(xP+xQ-2)

xP-xQ

=

1

3

而kAB=

1

3

，所以PQ與AB平行，所以

PQ

與

AB

共線．

點(diǎn)評：本題以向量為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．