Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)P(1，

2

2

)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）動直線l：mx+ny+

1

3

n=0(m，n∈R)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T．若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知a=

2

b，所以

x2

2b2

+

y2

b2

=1，橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(1，

2

2

)，代入可得b=1，a=

2

，由此可知所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1.
（2）首先求出動直線過（0，-

1

3

）點(diǎn)．當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2；當(dāng)L與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1．由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

．由此入手可求出點(diǎn)T的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
∴a=

2

b∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1
又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(1，

2

2

)，代入可得b=1，
∴a=

2

，故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1.（3分）
（2）首先求出動直線過（0，-

1

3

）點(diǎn)．（5分）
當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2
當(dāng)L與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1
由

x2+(y+ 1 3 )2=( 4 3 )2 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

即兩圓相切于點(diǎn)（0，1），因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）．事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)．（7分）
證明如下：
當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）
若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

消去y得：(18k2+9)x2-12kx-16=0
記點(diǎn)A（x₁，y₁）、B(x2，y2)，則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

（9分）又因?yàn)?table style="margin-right: 1px">

TA=(x1，y1-1)，

TB

=(x 2，y2-1)所以

TA

•

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）
所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T（0，1）滿足條件．（12分）

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．