Question

如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE²=EF•EC．
（1）求證：∠P=∠EDF；
（2）求證：CE•EB=EF•EP；
（3）若CE：BE=3：2，DE=6，EF=4，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的乘積式和對(duì)應(yīng)角相等，得到兩個(gè)三角形相似，由相似得到對(duì)應(yīng)角相等，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，角進(jìn)行等量代換，得到要證的結(jié)論．
（2）根據(jù)所得的結(jié)果和對(duì)頂角相等，得到兩個(gè)三角形相似，根據(jù)三角形相似得到對(duì)應(yīng)線段成比例，把比例式轉(zhuǎn)化為乘積式，再根據(jù)相交弦定理得到比例式，等量代換得到結(jié)果．
（3）根據(jù)所給的等積式和所給的線段的長(zhǎng)度，代入數(shù)值求出BE的長(zhǎng)度，再求出EP的長(zhǎng)度，最后根據(jù)切割線定理做出PA的長(zhǎng)度．

解答：解 （1）∵DE²=EF•EC，
∴DE：CE=EF：ED．
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE=EF：EA．即EF•EP=DE•EA．
∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E，∴DE•EA=CE•EB．∴CE•EB=EF•EP．
（3）∵DE²=EF•EC，DE=6，EF=4，∴EC=9．
∵CE：BE=3：2，∴BE=6．
∵CE•EB=EF•EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=

27

2

．
∴PB=PE-BE=

15

2

，PC=PE+EC=

45

2

．
由切割線定理得：PA²=PB•PC，
∴PA²=

15

2

×

45

2

．∴PA=

15

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，考查兩條直線平行的性質(zhì)定理，考查相交弦定理和切割線定理，本題是一個(gè)中檔題目．