Question

如圖，在多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下兩個底面ABCD和A₁B₁C₁D₁互相平行，且都是正方形，DD₁⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a．
（Ⅰ）求異面直線AB₁與DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）已知F是AD的中點，求證：FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，求二面角F-CC₁-B的余弦值．

Answer 1

分析：解法1（幾何法）：（I）過A點作AP，使AP∥DD₁，且AP=DD₁，連接A₁P，B₁P，可得∠B₁AP為異面直線AB₁與DD₁所成的角，解三角形B₁AP，即可得到異面直線AB₁與DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）由F為AD的中點，結(jié)合上、下兩個底面ABCD和A₁B₁C₁D₁互相平行，且都是正方形，DD₁⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a，我們易得BC⊥FB₁，F(xiàn)B₁⊥GB₁，由線面垂直的判定定理可得FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）由（II）的結(jié)論，我們可得∠FC₁B₁是二面角F-CC₁-B的平面角，解三角形FC₁B₁即可得到二面角F-CC₁-B的余弦值．
解法2（向量法）：（I）以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，分別求出異面直線AB₁與DD₁的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到異面直線AB₁與DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）分別求出向量

BB1

，

BC

，

FB1

的坐標(biāo)，根據(jù)

BB1

•

FB1

=0，

BC

•

FB1

=0，我們可得

BB1

⊥

FB1

，且

BC

⊥

FB1

，再由線面垂直的判定定理得到FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）由（II）可得

FB1

即為平面BCC₁B₁的一個法向量，求出平面FCC₁的一個法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角F-CC₁-B的余弦值．

解答：（本小題滿分12分）
解：法1：（Ⅰ）過A點作AP，使AP∥DD₁，且AP=DD₁，
連接A₁P，B₁P，如圖所示
則∠B₁AP為異面直線AB₁與DD₁所成的角．
∴cos∠B1AP=

1

3

=

3

3

．…（3分）
（Ⅱ）∵F為AD的中點，∴BC⊥平面FB₁A₁，
從而BC⊥FB₁．…（5分）
∵FB₁²+GB₁²=2a²+2a²=4a²=FG²，…（6分）
FB₁⊥GB₁
∴FB₁⊥平面BCC₁B₁．…（7分）
（Ⅲ）由B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，得B₁C₁⊥CC₁．
又由（2）FB₁⊥平面BCC₁B₁，∴由三垂線定理得，F(xiàn)C₁⊥CC₁，
∴∠FC₁B₁是二面角F-CC₁-B的平面角．…（10分）
∵F

C

2 1

=F

B

2 1

+B1

C

2 1

=

3

a，∴cos∠FC1B1=

B1C1

FB1

=

1

3

=

3

3

．
即二面角F-CC₁-B的余弦值為

3

3

．…（12分）
法2：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系．…（2分）
（Ⅰ）∵

AB1

=(-a，a，a)，

DD1

=(0，0，a)，
∴cos＜

AB1

，

DD1

＞=

3

3

．…（3分）
（Ⅱ）∵

BB1

=(-a，-a，a)，

BC

=(-2a，0，0)，

FB1

=(a，a，a)．…（6分）
∴

FB1 • BB1 =0 FB1 • BC =0.

∴FB₁⊥平面BCC₁B₁．…（7分）
（Ⅲ）由（2）知，

FB1

為平面BCC₁B₁的一個法向量．
設(shè)

n

=(x1，y1，z1)為平面FCC₁的一個法向量，則

CC1

=(0，-a，a)，

FC

=(-a，2a，0)．
由

n • CC1 =0 n • FC =0.

⇒

-ay1+az1=0 -ax1+2ay1=0.

令y₁=1，⇒x₁=2，z₁=1．
∴

n

=(2，1，1)．…（10分）
∴cos＜

FB1

，

n

＞=

3

3

，即二面角F-CC₁-B的余弦值為

3

3

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的判定，其中解法1 （幾何法）的關(guān)鍵是求出線面夾角及二面角的平面角，解法2（向量法）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間線面夾角，二面角及線面垂直問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．