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        1. (2009•上海模擬)定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
          (1)若關于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
          6
          ,求實數(shù)a的值;
          (2)求關于x的不等式sinxcosx+
          3
          cos2x>0
          ,x∈[0,2π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和;
          (3)已知關于x的不等式組
          6
          x
          >1 
          log2x+log2(tx+3t)<2
          的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實數(shù)t的取值范圍.
          分析:(1)觀察二次項的系數(shù)帶有字母,需要先對字母進行討論,當a等于0時,看出合不合題意,a≠0時,方程2ax2-12x-3=0的兩根設為x1、x2,根據(jù)根與系數(shù)之間的關系,寫出兩根的和與積,表示出區(qū)間長度,得到結(jié)果.
          (2)根據(jù)所給的三角函數(shù)式,利用二倍角公式進行化簡求值,根據(jù)三角函數(shù)的圖象寫出不等式成立的條件,寫出在規(guī)定范圍中的解集.
          (3)先解關于x的不等式組,解出兩個不等式的解集,求兩個不等式的解集的交集,A∩B⊆(0,6),不等式組的解集的各區(qū)間長度和為6,寫出不等式組進行討論,得到結(jié)果.
          解答:解:(1)a=0時不合題意;                                      (1分)
          a≠0時,方程2ax2-12x-3=0的兩根設為x1、x2,則x1+x2=
          6
          a
          ,x1x2=-
          3
          2a
          ,
          由題意知6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=
          36
          a2
          +
          6
          a
          ,(2分)
          解得a=-2或a=3(舍),(3分)
          所以a=-2.                                                    (4分)
          (2)因為sinxcosx+
          3
          cos2x
          =
          1
          2
          sin2x+
          3
          2
          (1+cos2x)
          =sin(2x+
          π
          3
          )+
          3
          2
          ,
          原不等式即為sin(2x+
          π
          3
          )>-
          3
          2
          ,x∈[0,2π](6分)
          不等式sin(2x+
          π
          3
          )>-
          3
          2
          的解集為{x|kπ-
          π
          3
          <x<kπ+
          π
          2
          ,k∈Z}
          ,(7分)
          所以原不等式的解集為[0,
          π
          2
          )∪(
          3
          2
          )∪(
          3
          ,2π]
          (8分)
          各區(qū)間的長度和為
          3
          (9分)
          (3)先解不等式
          6
          x
          >1
          ,整理得
          6-x
          x
          >0
          ,即x(x-6)<0
          所以不等式
          6
          x
          >1
          的解集A=(0,6)(10分)
          設不等式log2x+log2(tx+3t)<2的解集為B,不等式組的解集為A∩B
          不等式log2x+log2(tx+3t)>2等價于
          x>0
          tx+3t>0
          tx2+3tx-4<0
          (11分)
          又A∩B⊆(0,6),不等式組的解集的各區(qū)間長度和為6,所以不等式組
          tx+3t>0
          tx2+3tx-4<0

          當x∈(0,6)時,恒成立                                                 (12分)
          當x∈(0,6)時,不等式tx+3t>0恒成立,得t>0(13分)
          當x∈(0,6)時,不等式tx2+3tx-4<0恒成立,即t<
          4
          x2+3x
          恒成立        (14分)
          當x∈(0,6)時,
          4
          x2+3x
          的取值范圍為(
          2
          27
          ,+∞)
          ,所以實數(shù)t≤
          2
          27
          (15分)
          綜上所述,t的取值范圍為(0,
          2
          27
          ]
          (16分)
          點評:本題考查一個新定義問題,即區(qū)間的長度,本題解題的關鍵是對于條件中所給的三種不同的題目進行整理變化,注意恒成立問題,這是高考題目中必出的.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2009•上海模擬)在解決問題:“證明數(shù)集A={x|2<x≤3}沒有最小數(shù)”時,可用反證法證明.假設a(2<a≤3)是A中的最小數(shù),則取a′=
          a+2
          2
          ,可得:2=
          2+2
          2
          <a′=
          a+2
          2
          a+a
          2
          =a≤3
          ,與假設中“a是A中的最小數(shù)”矛盾!那么對于問題:“證明數(shù)集B={x|x=
          n
          m
          ,m,n∈N*,并且n<m}
          沒有最大數(shù)”,也可以用反證法證明.我們可以假設x=
          n0
          m0
          是B中的最大數(shù),則可以找到x'=
          n0+1
          m0+1
          n0+1
          m0+1
          (用m0,n0表示),由此可知x'∈B,x'>x,這與假設矛盾!所以數(shù)集B沒有最大數(shù).

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2009•上海模擬)定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
          (1)若關于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
          6
          ,求實數(shù)a的值;
          (2)已知關于x的不等式sinxcosx+
          3
          cos2x+b>0
          ,x∈[0,π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過
          π
          3
          ,求實數(shù)b的取值范圍;
          (3)已知關于x的不等式組
          7
          x+1
          >1 
          log2x+log2(tx+3t)<2
          的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2009•上海模擬)已知全集U=R,集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x||x-2|<2,x∈R},那么集合A∩B=
          {x|0<x≤3}
          {x|0<x≤3}

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2009•上海模擬)已知集合A={z|z=1+i+i2+…+in,n∈N*},B={ω|ω=z1•z2,z1、z2∈A},(z1可以等于z2),從集合B中任取一元素,則該元素的模為
          2
          的概率為
          2
          7
          2
          7

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2009•上海模擬)已知點列B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)順次為直線y=
          x4
          上的點,點列A1(x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0),…(n∈N*)順次為x軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對任意的n∈N*,點An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點的等腰三角形.
          (1)證明:數(shù)列{yn}是等差數(shù)列;
          (2)求證:對任意的n∈N*,xn+2-xn是常數(shù),并求數(shù)列{xn}的通項公式;
          (3)對上述等腰三角形AnBnAn+1添加適當條件,提出一個問題,并做出解答.(根據(jù)所提問題及解答的完整程度,分檔次給分)

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