Question

在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，則mn的最大值為

1

．

Answer 1

分析：延長AO至A'使AO=A'O，延長A'C交MN 于M'，利用O是BC的中點(diǎn)，得到三角形全等和相似，利用相似比和線段的關(guān)系列出等式，再把條件代入求出m+n的值，然后利用基本不等式可求出mn的最大值．

解答：解：延長AO至A'使AO=A'O，延長A'C交MN 于M'，如圖：
則△OBM≌△OCM'，∴BM=CM'，
∵△NAM∽△NCM'，
∴

NC

AN

=

CM′

AM

，即

AN-AC

AN

=

AB-AM

AM

，
∵

AB

=m

AM

，

AC

=n

AN

，
∴|

AB|

=m

|AM|

，|

AC|

=n

|AN|

，
代入上式得，n-1=1-m，則m+n=2
∴m+n=2≥2

mn

即mn≤1
故mn的最大值為1
故答案為：1

點(diǎn)評：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．