Question

設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的格點(diǎn)(格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為f(n)(n∈N^*)．

(1)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表達(dá)式；

(2)記，若對于一切正整數(shù)n，總有T_n≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，其中b_n＝2^f(n)，問是否存在正整數(shù)n，t，使成立？若存在，求出正整數(shù)n，t；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由題意，作圖易得f(1)＝3，f(2)＝6． 　　一般地，由，，得． 　　又(n∈N*)，∴． 　　∴Dn內(nèi)的整點(diǎn)在直線x＝1和x＝2上． 　　記直線為l，l與直線x＝1和x＝2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1，y2， 　　則y1＝－n＋3n＝2n，y2＝－2n＋3n＝n． 　　∴f(n)＝3n(n∈N*)． 　　(2)由(1)，得， 　　∴． 　　∴當(dāng)n≥3時(shí)，，且． 　　于是T2，T3是Tn的最大項(xiàng)，故m≥． 　　(3)假設(shè)存在正整數(shù)n，t使得上面的不等式成立， 　　由(Ⅰ)，有bn＝8n，∴． 　　不等式，即， 　　解得． 　　∴n＝t＝1． 　　即存在正整數(shù)n＝1，t＝1，使成立．