Question

已知正四棱錐的側(cè)面是正三角形，設(shè)側(cè)面與底面所成的二面角為θ₁，相鄰兩側(cè)面所成的二面角為θ₂，則（　　）

• A．θ1=

  π

  2

  -θ2
• B．θ1=

  π

  2

  -

  θ2

  2

• C．θ₁=θ₂
• D．θ1=

  θ2

  2

Answer 1

分析：由已知中正四棱錐的側(cè)面是正三角形，側(cè)面與底面所成的二面角為θ₁，相鄰兩側(cè)面所成的二面角為θ₂，我們可以畫(huà)出滿足條件的圖形，結(jié)合二面角的定義，我們可以找到θ₁，θ₂對(duì)應(yīng)的平面角，解三角形求出它們的三角函數(shù)值，進(jìn)而可以判斷出θ₁與θ₂的關(guān)系．

解答：解：正四棱錐S-ABCD中，取AB的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)F，底面ABCD的中點(diǎn)O，
連接AF，CF，AC，SE，SO，OE，
由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，易得∠SEO=θ₁，∠AFC=θ₂，
由已知中四棱錐的側(cè)面是正三角形，故邊長(zhǎng)設(shè)為1，
則在△SOE中，SE=

3

2

，OE=

1

2

∴cos∠SEO=cosθ₁=

OE

SE

=

3

3

在△AFC中，AF=FC=

3

2

，AC=

2

則cos∠AFC=cosθ₂=-

1

3

又∵cos2θ₁=2cos²θ₁-1=-

1

3

故θ₂=2θ₁，
即θ1=

θ2

2

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及其求法，其中畫(huà)出滿足條件的圖象，找出二面角的平面角，將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵．