Question

如圖，已知三棱柱A₁B₁C₁—ABC的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A₁A與AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F.

(1)求點(diǎn)A到平面B₁BCC₁的距離；

(2)當(dāng)AA₁多長時，點(diǎn)A₁到平面ABC與平面B₁BCC₁的距離相等.

Answer 1

(1)所求距離為2     (2)當(dāng)AA₁=時滿足條件.

解析:

(1)∵BB₁⊥A₁E，CC₁⊥A₁F，BB₁∥CC₁

∴BB₁⊥平面A₁EF

即面A₁EF⊥面BB₁C₁C

在Rt△A₁EB₁中，

∵∠A₁B₁E=45°，A₁B₁=a

∴A₁E=a,同理A₁F=a,又EF=a，∴A₁E=a

同理A₁F=a,又EF=a

∴△EA₁F為等腰直角三角形，∠EA₁F=90°

過A₁作A₁N⊥EF，則N為EF中點(diǎn)，且A₁N⊥平面BCC₁B₁

即A₁N為點(diǎn)A₁到平面BCC₁B₁的距離

∴A₁N=

又∵AA₁∥面BCC₁B，A到平面BCC₁B₁的距離為

∴a=2，∴所求距離為2

(2)設(shè)BC、B₁C₁的中點(diǎn)分別為D、D₁，連結(jié)AD、DD₁和A₁D₁，則DD₁必過點(diǎn)N，易證ADD₁A₁為平行四邊形.

∵B₁C₁⊥D₁D,B₁C₁⊥A₁N

∴B₁C₁⊥平面ADD₁A₁

∴BC⊥平面ADD₁A₁

得平面ABC⊥平面ADD₁A₁，過A₁作A₁M⊥平面ABC，交AD于M，

若A₁M=A₁N，又∠A₁AM=∠A₁D₁N，∠AMA₁=∠A₁ND₁=90°

∴△AMA₁≌△A₁ND₁,∴AA₁=A₁D₁=,即當(dāng)AA₁=時滿足條件.