Question

已知函數(shù)f ( x )的圖像過點(diǎn)（3，5），且與函數(shù)的圖像關(guān)于直線x－y－1 = 0成軸對(duì)稱圖形．（Ⅰ）求函數(shù)f ( x )的解析式及其定義域；

（Ⅱ）如果f ( x－1 ) + f ( y－2 ) > f ( y ) + 1，求證：

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）設(shè)P(x，y)是函數(shù)y = f ( x )圖像上任一點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于直線x－y－1 = 0的對(duì)稱點(diǎn)為Q（a，b）． 則 解得  a = y+1，b = x－1． ∵ 點(diǎn)Q ( y+1，x－1 )在函數(shù)g ( x )的圖像上，∴ ． 由此可解得 y = 2 log 2 (x－1+a) + 1． 又 f ( 3 ) = 5，可確定a = 2． ∴ f ( x ) = 2 log 2 (x + 1) + 1，其定義域?yàn)椋ǎ?，+∞） （Ⅱ）由 f (x－1) + f ( y－2)> f ( y ) + 1 及（Ⅰ）可得 log2x + log2 (y－1) > log 2 ( y+1)   由  x (y－1) > y+1，且y－1>0得  ． ∴ ．

提示：

對(duì)于（Ⅰ）應(yīng)注意把解析幾何中求與已知曲線關(guān)于已知直線對(duì)稱的曲線的方程的方法運(yùn)用于此．對(duì)于（Ⅱ）把函數(shù)值的不等式轉(zhuǎn)化成自變量的不等式時(shí)，要注意函數(shù)單調(diào)性