Question

{x_n}是首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，

opi

=（x_i，

1

xi

），（i=1，2，…，n），

op

=

n

i=1

opi，

om

=(0，t)，若

op

⊥

om

，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則和等比數(shù)列求和公式，算出

op

=

n

i=1

opi=（2-

1

2n-1

，2ⁿ-1），由

op

⊥

om

建立關(guān)于t、n的等式，解出t=

1

2n-1

，最后根據(jù)n∈N^*計(jì)算分式函數(shù)的值域，即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：∵{x_n}是首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，

opi

=(xi，

1

xi

)（i=1，2，…，n），
∴

op

=

n

i=1

opi=（x₁+x₂+…+x_n，

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）
=（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

，1+2+2²+…+2^n-1）
=（

1-( 1 2 )n

1- 1 2

，

1-2n

1-2

）=（2-

1

2n-1

，2ⁿ-1）
∵

op

⊥

om

，

om

=(0，t)
∴（2-

1

2n-1

）•0+（2ⁿ-1）•t=0，解得t=

1

2n-1

∵n∈N^*，∴2ⁿ-1≥1，可得

1

2n-1

∈（0，1]，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量數(shù)量積公式及其運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和、函數(shù)值域的求法等知識(shí)，屬于中檔題．