Question

【題目】已知點(diǎn)A（0，﹣2），橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，直線AF的斜率為 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． （Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 設(shè)F（c，0），由條件知 ，得 又 ， 所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 ．
（Ⅱ）依題意當(dāng)l⊥x軸不合題意，故設(shè)直線l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）
將y=kx﹣2代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
當(dāng)△=16（4k2﹣3）＞0，即 時(shí)，
從而
又點(diǎn)O到直線PQ的距離 ，所以△OPQ的面積 = ，
設(shè) ，則t＞0， ，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2，k=± 等號(hào)成立，且滿足△＞0，
所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2
【解析】（Ⅰ）通過(guò)離心率得到a、c關(guān)系，通過(guò)A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）將y=kx﹣2代入 ，利用△＞0，求出k的范圍，利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面積表達(dá)式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程．