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        1. 定義變換T:
          cosθ•x+sinθ•y=x′
          ′sinθ•x-cosθ•y=y′
          可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)P(x,y)變換到這一平面上的點(diǎn)P′(x′,y′).特別地,若曲線M上一點(diǎn)P經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)P'與點(diǎn)P重合,則稱點(diǎn)P是曲線M在變換T下的不動(dòng)點(diǎn).
          (1)若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且焦距為2
          2
          ,長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2.求該橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.并求出當(dāng)θ=arctan
          3
          4
          時(shí),其兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)F1和F2的坐標(biāo);
          (2)當(dāng)θ=arctan
          3
          4
          時(shí),求(1)中的橢圓C在變換T下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);
          (3)試探究:中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線在變換T:
          cosθ•x+sinθ•y=x′
          ′sinθ•x-cosθ•y=y′
          θ≠
          2
          ,k∈Z)下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù).
          分析:(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0),求出c,a,b然后結(jié)合定義變換T,求出點(diǎn)F1和F2的坐標(biāo).
          (2)θ=arctan
          3
          4
          時(shí),利用(1)中的橢圓C在變換T下,點(diǎn)P(x,y)∈C,根據(jù)橢圓方程求出的不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);
          (3)設(shè)P(x,y)是雙曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn),推出
          y
          x
          =
          1-cosθ
          sinθ
          =
          sinθ
          1+cosθ
          =tan
          θ
          2
          ,設(shè)雙曲線方程為
          x2
          m
          +
          y2
          n
          =1
          (mn<0),y=tan
          θ
          2
          x
          代入,推出
          n+mtan2
          θ
          2
          mn
          x2=1
           討論mn<0,故當(dāng)n+mtan2
          θ
          2
          =0
          時(shí),方程
          n+mtan2
          θ
          2
          mn
          x2=1
          無解;
          當(dāng)n+mtan2
          θ
          2
          ≠0
          時(shí),要使不動(dòng)點(diǎn)存在,則需x2=
          mn
          n+mtan2
          θ
          2
          >0
          ,
          因?yàn)閙n<0,故當(dāng)n+mtan2
          θ
          2
          <0
          時(shí),雙曲線在變換T下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn),否則不存在不動(dòng)點(diǎn).
          進(jìn)一步分類:
          (i)當(dāng)n<0,m>0下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn);
          (ii)當(dāng)n>0,m<0時(shí),雙曲線在變換T下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).
          解答:解:(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0),
          由橢圓定義知焦距2c=2
          2
          ?c=
          2
          ,即a2-b2=2①.
          又由條件得a2+b2=4②,故由①、②可解得a2=3,b2=1.
          即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
          x2
          3
          +y2=1

          且橢圓C兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(-
          2
          ,0)
          F1(
          2
          ,0)

          對于變換T:
          cosθ•x+sinθ•y=x′
          ′sinθ•x-cosθ•y=y′
          ,當(dāng)θ=arctan
          3
          4
          時(shí),
          可得
          4
          5
          x+
          3
          5
          y=x′
          3
          5
          x-
          4
          5
          y=y′

          設(shè)F1(x1,y1)和F2(x2,y2)分別是由F1(-
          2
          ,0)
          F1(
          2
          ,0)
          的坐標(biāo)由變換公式T變換得到.于是,
          x1=
          4
          5
          •(-
          2
          )+
          3
          5
          •0=-
          4
          2
          5
          y1=
          3
          5
          •(-
          2
          )-
          4
          5
          •0=-
          3
          2
          5
          ,即F1的坐標(biāo)為(-
          4
          2
          5
          ,-
          3
          2
          5
          )
          ;
          x2=
          4
          5
          2
          +
          3
          5
          •0=
          4
          2
          5
          y2=
          3
          5
          2
          -
          4
          5
          •0=
          3
          2
          5
          即F2的坐標(biāo)為(
          4
          2
          5
          ,
          3
          2
          5
          )

          (2)設(shè)P(x,y)是橢圓C在變換T下的不動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)θ=arctan
          3
          4
          時(shí),
          4
          5
          x+
          3
          5
          y=x
          3
          5
          x-
          4
          5
          y=y
          ?x=3y,由點(diǎn)P(x,y)∈C,即P(3y,y)∈C,
          得:
          (3y)2
          3
          +y2=1
          y=±
          1
          2
          x=3y
          ,因而橢圓
          的不動(dòng)點(diǎn)共有兩個(gè),分別為(
          3
          2
          ,
          1
          2
          )
          (-
          3
          2
          ,-
          1
          2
          )

          (3)設(shè)P(x,y)是雙曲線在變換
          下的不動(dòng)點(diǎn),則由
          cosθ•x+sinθ•y=xsinθ•x-cosθ•y=y
          ?
          sinθ•y=(1-cosθ)•xsinθ•x=(1+cosθ)•y

          因?yàn)?span id="q7i6qxz" class="MathJye">θ≠
          2
          ,k∈Z,故
          y
          x
          =
          1-cosθ
          sinθ
          =
          sinθ
          1+cosθ
          =tan
          θ
          2

          不妨設(shè)雙曲線方程為
          x2
          m
          +
          y2
          n
          =1
          (mn<0),由y=tan
          θ
          2
          x
          代入得
          則有
          x2
          m
          +
          (tan
          θ
          2
          •x)
          2
          n
          =1?
          n+mtan2
          θ
          2
          mn
          x2=1
          ,
          因?yàn)閙n<0,故當(dāng)n+mtan2
          θ
          2
          =0
          時(shí),方程
          n+mtan2
          θ
          2
          mn
          x2=1
          無解;
          當(dāng)n+mtan2
          θ
          2
          ≠0
          時(shí),要使不動(dòng)點(diǎn)存在,則需x2=
          mn
          n+mtan2
          θ
          2
          >0
          ,
          因?yàn)閙n<0,故當(dāng)n+mtan2
          θ
          2
          <0
          時(shí),雙曲線在變換T下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn),否則不存在不動(dòng)點(diǎn).
          進(jìn)一步分類可知:
          (i)當(dāng)n<0,m>0時(shí),即雙曲線的焦點(diǎn)在
          軸上時(shí),?n+mtan2
          θ
          2
          <0?tan2
          θ
          2
          <-
          n
          m
          ;
          此時(shí)雙曲線在變換
          下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn);
          (ii)當(dāng)n>0,m<0時(shí),即雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),?n+mtan2
          θ
          2
          <0?tan2
          θ
          2
          >-
          n
          m
          >0

          此時(shí)雙曲線在變換T下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).
          點(diǎn)評:本題考查解橢圓的應(yīng)用,橢圓的簡單性質(zhì),考查分析問題解決問題的能力,轉(zhuǎn)化思想,計(jì)算能力,分類討論思想,是難題,創(chuàng)新題.
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