Question

已知函數(shù)f(x)=2(x＞-1)，曲線y=f(x)在點P(x₀，f(x₀))處的切線l分別交x軸、y軸于A、B兩點，O為坐標原點.

(Ⅰ)求x₀=1時切線l的方程；

(Ⅱ)求AOB面積的最小值及此時P點的坐標.

Answer 1

解：(Ⅰ)(x)=. 

設y₀=f(x₀),過P(x₀,y₀)的切線方程為

y-y₀=(x-x₀).即y=.

∴當x₀=1時,切線l的方程為x-y+3=0.

(Ⅱ)當x=0時,y=,當y=0時,x=-x₀-2.

S_ΔAOB=|·(x₀+2)|=.

令=t    (t＞0).則

S_ΔAOB=.

由于t＞0,解得t=,

當t＜時，＜0,當t＞時, ＞0.

∴當t=，即=時，S取得最小值S_ΔAOB=.

此時x₀=-,y₀=2.

所以ΔAOB面積的確最小值為,此時P點的坐標為(-).