Question

過曲線C：y=x²-1（x＞0）上的一點P（x₀，y₀）作C的切線l，且l與坐標軸交于M、N兩點．
（1）試用x₀表示△OMN的面積S；
（2）問：當x₀為何值時，面積S取到最小值，并求出此時P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x₀，y₀）為曲線C：y=x²-1（x＞0）上一點，過點P作曲線C的切線l，利用導數(shù)可求得切線l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標軸交于M，N兩點的坐標，繼而可求△OMN的面積．
（2）根據(jù)（1）中得到的關(guān)于x₀的函數(shù)關(guān)系，利用導數(shù)求出極小值即最小值，得到此時的x₀的值，即可求出對應(yīng)的點P的坐標．

解答：解：設(shè)切點為Q（a，a²-1），
∵y=x²-1（x＞0），則y′=2x，
∴切線l的斜率k=y′|_x=a=2a，
由點斜式可得切線l方程為：y-（a²-1）=2a（x-a），
又切線l過點P（x₀，y₀），且y₀=x₀²-1，
∴x₀²-1-（a²-1）=2a（x₀-a），解得，a=x₀，
∴切線l方程為：y-（x₀²-1）=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²-1，
令x=0，可得y=-1-x₀²，則M（0，-1-x₀²），
令y=0，可得x=

x02+1

2x0

，則N（

x02+1

2x0

，0），
∴S=

1

2

×|-1-x02|×|

x02+1

2x0

|=

(x02+1)2

4x0

（x₀＞0）；
（2）根據(jù)（1）可得，S=

(x02+1)2

4x0

（x₀＞0），
∴S′=

3x04+2x02-1

4x02

=

(x02+1)(3x02-1)

4x02

，
令S′=0，可得，x₀=-

3

3

（舍）或x₀=

3

3

，
又S在（0，

3

3

）單調(diào)遞減，在（

3

3

，+∞）單調(diào)遞增，
∴S在x₀=

3

3

處取得極小值即最小值，此時P的坐標為（

3

3

，-

2

3

），
故當x₀=

3

3

時，面積S取到最小值，此時P點的坐標為（

3

3

，-

2

3

）．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，同時考查了直線的方程以及直線與坐標軸圍成的三角形的面積的求解，要注意求面積時橫截距和縱截距要用絕對值表示．求面積的最值時，利用導數(shù)求最值．屬于中檔題．