Question

設(shè)函數(shù)，已知f（x）在x=1處有極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，證明：e^{（e-x）（e+x-6）+4}≥x⁴；
（3）證明：對(duì)任意的n＞1，n∈N*，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意函數(shù)，已知f（x）在x=1處有極值，所以f^′（1）=0，進(jìn)而建立a的方程，解出即可；
（2）由題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；
（3）有（2）可知函數(shù)在定義域上的最大值，利用累加法即可得證．
解答：解：（1）由題意函數(shù)，已知f（x）在x=1處有極值，
所以f^′（1）=0∴1+a+2=0解得：a=-3．
（2）∵，（x＞0）
∴，
由，
，
∵∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（．（2，e），單調(diào)的減區(qū)間為（1，2），
∴=，又f（e）=，
f（e）-f（1）=
∴e²-3e+2
∴
即：e²-6e+4≥x²-6x+4lnx
即：e²-x²+6x-6e+4≥4lnx⇒（e-x）（e+x-6）+4≥4lnx
∴
∴e^{（e-x）（e+x-6）+4}≥x⁴；
（3）∵，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（2，e），
∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）在x=2處取得最小值2ln2-4，
∴

∴，
∵
   
…
   
由于以上各式并不都能取等號(hào)，所以把以上各式相加，變形得：
   
    =
∴．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)極值的定義，還考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性及最值，還有利用累加法證明與n有關(guān)的命題．