Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.

（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)

Answer 1

：（I）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：

即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為

（II）如圖，設(shè)，，由題意得（否則）且，所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

顯然，將與聯(lián)立消去，

得

由韋達(dá)定理知              (*)

1*    當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

∴，，

∴

由（*）式知：，∴

因此直線的方程可表示為：，即，

∴直線恒過定點(diǎn)

2*  當(dāng)時(shí)，由，得

    

     

將（*）式代入上式整理化簡，得：

，∴

此時(shí)，直線的方程可表示為：

即

∴直線恒過定點(diǎn)

∴由1*、2*知，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn).