Question

已知函數(shù)f(x)=log_ax和g(x)=2log_a(2x+t-2)，(a＞0，a≠1，t∈R)的圖像在x=2處的切線互相平行.

(Ⅰ)求t的值；

(Ⅱ)設(shè)F(x)=g(x)-f(x)，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，F(xiàn)(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f′(x)=log_ae,g′(x)=log_ae 

∵函數(shù)f(x)和g(x)的圖像在x=2處的切線互相平行∴f′(2)=g′(2) 

∴log_ae=log_ae  ∴t=6

(Ⅱ)∵t=6∴F(x)=g(x)-f(x)=2log_a(2x+4)-log_ax=log_a,x∈[1,4]

令h(x)=4-=4x++16,x∈[1,4]

∵h(yuǎn)′(x)=4-=,x∈[1,4]

∴當(dāng)1≤x＜2時(shí),h′(x)＜0,當(dāng)2＜x≤4時(shí),h′(x)＞0.

∴h(x)在[1,2)是單調(diào)減函數(shù),在(2,4]是單調(diào)增函數(shù).

∴h(x)_min=h(2)=32,∴h(x)_max=h(1)=h(4)=36

∴當(dāng)0＜a＜1時(shí),有F(x)_min=log_a36,當(dāng)a＞1時(shí),有F(x)_min=log_a32.

∵當(dāng)x∈[1,4]時(shí),F(x)≥2恒成立,∴F(x)_min≥2 

∴滿(mǎn)足條件的a的值滿(mǎn)足下列不等式組

  ①,或   ②

不等式組①的解集為空集,解不等式組②得1＜a≤

綜上所述,滿(mǎn)足條件的a的取值范圍是：1＜a≤.