Question

已知點(diǎn)F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A、P，PF垂直于x軸，直線AF交橢圓于點(diǎn)B，PB⊥PA，則該橢圓的離心率e=

2

2

．

Answer 1

分析：由題意得該橢圓的形狀確定，與大小無(wú)關(guān)．因此設(shè)a=1，得P（c，b²），從而A（-c，-b²），可得到直線AF的方程為：y=

b2

2c

（x-c），與橢圓方程聯(lián)解得出點(diǎn)B（

4c-b2c

4c2+b2

，

(1-c2)2

1+3c 2

），由此得出PB的斜率k₁，并化簡(jiǎn)得k₁=-2c，結(jié)合PA的斜率k₂=

b2

c

且PB⊥PA，由k₁k₂=-1列式并解之，可得b=c=

2

2

，最終得出該橢圓的離心率e．

解答：解：根據(jù)題意橢圓的離心率為定值，故橢圓的形狀確定，與大小無(wú)關(guān)
因此設(shè)a=1，得橢圓的方程為x2+

y2

b2

=1，
求出橢圓的半焦距c，即得橢圓的離心率．
由F（c，0）及PF⊥x軸，得P（c，b²）
∵PA的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O
∴A的坐標(biāo)為（-c，-b²），得直線AF的斜率k=

-b2-0

-c-c

=

b2

2c

∴直線AF的方程為：y=

b2

2c

（x-c）
由

x2+ y2 b2 =1 y= b2 2c (x-c)

聯(lián)解，得B的橫坐標(biāo)x_B=

4c-b2c

4c2+b2

，
將b²=1-c²代入，化簡(jiǎn)得x_B=

3c+c3

1+3c2

，代入直線AF方程，得B的縱坐標(biāo)y_B=

(1-c2)2

1+3c 2

∴直線PB的斜率k₁=

(1-c2)2 1+3c 2 -b2

3c+c3 1+3c2 -c

=-2c
∵PA的斜率k₂=

b2

c

，且PB⊥PA，
∴k₁k₂=-1，得-2c•

b2

c

=-1，解之得b=c=

2

2

因此，該橢圓的離心率e=

c

a

=

2

2

故答案為：

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出滿足特殊條件的橢圓，求該橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．