Question

（本小題滿分13分）如圖，在正方體的上底面上疊放三棱柱
，該幾何體的正視圖與左視圖如右圖所示.
（Ⅰ）若，求實數(shù)的值；
（Ⅱ）在（I）的條件下：
① 證明平面；
②求直線與平面所成角的正弦值

Answer 1

（Ⅰ）=1
（Ⅱ）①見解析
②.

本題主要考查三視圖，直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，推理論證能力，以及運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想
解：（Ⅰ）分別以DA、DC、DM為、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B₁
（1，1，1），A₁（1，0，1），C（0，1，0），D₁（0，0，1），M（0，0，1+），
N（0，1，1+）.
=（1，1，1），=（－1，0，）.
∵⊥，
∴·="0 "   －1+a="0 "   ="1." ---------------------4分
（Ⅱ）①=（－1，1，－1），=（0，1，1），=（1，0，1）.
∵·=0， ·=0，
∴⊥， ⊥，又ND₁NB₁=N.
∴A₁C⊥平面NB₁D₁.                ----------------------------8分
②設(shè)平面A₁B₁NM的法向量為=（x、y、z），
   ·="0"             y=0
·="0        " x－z="0" .
取=（1，0，1），又=（1，1，1），
cos<·>=.
設(shè)直線DB₁與平面A₁B₁NM所成角為θ，
則sinθ=sin（－<·>）
=cos<·>=.----------------------------13分