Question

已知函數(shù)f(x)=(-1)²+(-1)²的定義域?yàn)椋踡,n］,且1≤m≤n≤2.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁,x₂∈［m,n］,不等式|f(x₁)-f(x₂)|＜1恒成立.

Answer 1

解：(1)f(x)=()²+()²-2(+)+2=(+)-2(+)+2-,

    令t=+,t′=-=,

    當(dāng)x∈［m,］時(shí)，t′≤0,函數(shù)t=+在［m,］上遞減；

    當(dāng)∈［,n］時(shí)，t′≥0,函數(shù)t=+在［,n］上遞增，

    則t∈［2,1+］,

f(x)=t²-2t+2-=(t-1)²+1-.

∵1≤m＜n≤2,∴2＞2,t＞2,

∴函數(shù)f(x)與函數(shù)t=+的單調(diào)區(qū)間相同，

∴f(x)在［m,］上遞減，在［,n］上遞增.

(2)當(dāng)x=m或x=n時(shí)，f(x)有最大值f(x)_max=(-1)²,

    當(dāng)x=時(shí),f(x)有最小值f(x)_min=2(-1)².

∵1≤m＜n≤2,∴1＜≤2,∴f(x)_max-f(x)_min=(-1)²-2(-1)²=(-1)²-(2·-2)²

=(-1+·-)(-1-·+)

=(+·--1)［(-)²+-］≤(2+2--1)(2-1-2+)

=(3-)(-1)=4-5＜1.

    又∵f(x)_max-f(x)_min＞0,∴0＜f(x)_max-f(x)_min＜1,

∴|f(x₁)-f(x₂)|＜f(x)_max-f(x)_min＜1.