Question

 

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，求的最小值；

（Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，證明

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：

　

　　　

于是，

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間是增函數(shù)，

所以時(shí)取得最小值，，

（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明

(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知命題成立

(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立　

即若正數(shù)滿足，

則

當(dāng)n=k+1時(shí)，若正數(shù)滿足，

令

，，……，

則為正數(shù)，且，

由歸納假定知

　

　　　　　　　　　　�、�

同理，由，可得

　　�、�

綜合①、②兩式

　

　　　

　　　

　　　

即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立

根據(jù)(ⅰ)、(ⅱ)可知對一切正整數(shù)n命題成立

【解析】略