Question

（2011•上海模擬）設(shè)不等式x²-1＜log_ax（a＞0，且a≠1）的解集為M，若（1，2）⊆M，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1＜a≤2

1

3

．

Answer 1

分析：先確定a＞1，再考慮兩個(gè)函數(shù) f（x）=x²-1 和 g（x）=log_ax，f（x）是二次函數(shù)，log_ax是對(duì)數(shù)函數(shù)，只要f（2）≤g（2），那么就能保證f（x）＜g（x）在1＜x＜2時(shí)恒成立，由此可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：根據(jù)題意 不等式在1＜x＜2時(shí)恒成立
若a＜1，則x²-log_ax-1 是單調(diào)遞增的，∴x=2時(shí)，3-log_a2＜0 不合題意．
所以a＞1
此時(shí)考慮兩個(gè)函數(shù) f（x）=x²-1 和 g（x）=log_ax，f（x）是二次函數(shù)，log_ax是對(duì)數(shù)函數(shù)，
故只要f（2）≤g（2），那么就能保證f（x）＜g（x）在1＜x＜2時(shí)恒成立
∴3-log_a2≤0
∴a³ ≤2
∴a≤2

1

3

∴1＜a≤2

1

3

故答案為：1＜a≤2

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．