Question

（2013•青島一模）已知n∈N^*，數列{d_n}滿足dn=

3+(-1)n

2

，數列{a_n}滿足a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n；又知數列{b_n}中，b₁=2，且對任意正整數m，n，

b

m n

=

b

n m

．
（Ⅰ）求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）將數列{b_n}中的第a₁項，第a₂項，第a₃項，…，第a_n項，…刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數列{c_n}，求數列{c_n}的前2013項和．

Answer 1

分析：（I）由dn=

3+(-1)n

2

，代入分組求和，然后結合等差數列的求和公式可求a_n，然后可求b_n
（Ⅱ）由題知新數列{c_n}中的奇數列與偶數列仍成等比數列，首項分別是b₁=2，b₂=4公比均是8，結合等比數列的求和公式分組求和即可求解

解答：解：（I）∵dn=

3+(-1)n

2

，
∴a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n=

3-1

2

+

3+1

2

+…

3-1

2

+

3+1

2

=

2

2

×n+

4n

2

=3n…（3分）
又由題知：令m=1，則b2=

b

2 1

=22，b3=

b

3 1

=23…bn=

b

n 1

=2n…（5分）
若bn=2n，則

b

m n

=2nm，

b

n m

=2mn，所以

b

m n

=

b

n m

恒成立
若bn≠2n，當m=1，

b

m n

=

b

n m

不成立，所以bn=2n…（6分）
（Ⅱ）由題知將數列{b_n}中的第3項、第6項、第9項…刪去后構成的新數列{c_n}中的奇數列與偶數列仍成等比數列，首項分別是b₁=2，b₂=4公比均是8，…（9分）
∴T₂₀₁₃=（c₁+c₃+c₅+…+c₂₀₁₃）+（c₂+c₄+c₆+…+c₂₀₁₂）
=

2×(1-81007)

1-8

+

4×(1-81006)

1-8

=

20×81006-6

7

…（12分）

點評：本題主要考查了等差數列的求和公式的應用及等比數列的求和公式的應用．