Question

預(yù)計(jì)某地區(qū)明年從年初開(kāi)始的前x個(gè)月內(nèi)，對(duì)某種商品的需求總量f（x）（萬(wàn)件）近似滿足：f（x）=x（x+1）（35-2x）（x∈N^*，且x≤12）
（1）寫(xiě)出明年第x個(gè)月的需求量g（x）（萬(wàn)件）與月份x的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪個(gè)月份的需求量超過(guò)192萬(wàn)件；
（2）如果將該商品每月都投放到該地區(qū)P萬(wàn)件（不包含積壓商品），要保證每月都滿足供應(yīng)，P應(yīng)至少為多少萬(wàn)件？（積壓商品轉(zhuǎn)入下月繼續(xù)銷(xiāo)售）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=1時(shí)直接代入f（x）的解析式求解，當(dāng)x≥2時(shí)，由g（x）=f（x）-f（x-1）列式求解，求出g（x）后直接求解不等式得到滿足條件的月份；
（2）由題意可得P≥

g(x)

x

對(duì)于x∈N^*，x≤12恒成立，代入g（x）解析式后利用二次函數(shù)求最值，從而得到答案．

解答：解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=f（1）=66（萬(wàn)件）
當(dāng)x≥2時(shí)，g（x）=f（x）-f（x-1）
=x（x+1）（35-2x）-（x-1）x（37-2x）=-6x²+72x．
所以，g（x）=-6（x²-12x）（x∈N^*且x≤12）．
由g（x）＞192，即-6（x²-12x）＞192．
化簡(jiǎn)得x²-12x+32＜0，解得4＜x＜8．
又x∈N^*，所以x=5，6，7．
答：第5，6，7月份的需求量超過(guò)192萬(wàn)件；
（2）要保證每月都滿足供應(yīng)，則P≥

g(x)

x

對(duì)于x∈N^*，x≤12恒成立．

g(x)

x

=(x+1)(35-2x)=-2x2+33x+35．
所以當(dāng)x=8時(shí)，

g(x)

x

取最大值171．
所以P≥171．
答：每月至少應(yīng)投放171萬(wàn)件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法，考查了一元二次不等式的解法及二次函數(shù)最值的求法，是中檔題．