Question

已知f(x)=

x-a

x2+bx+c

是奇函數(shù)，g(x)=

1

x

，且對(duì)任意m•n=1，均有f（m）•g（m）+f（n）•g（n）=1等式恒成立
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）若點(diǎn)A(xf(x)，

t

g(x)

)(其中t＞0)在直線2x-y=0下方，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）恒成立，代入可求a，b，再由f（m）•g（m）+f（n）•g（n）=1恒成立，利用賦值，令m=n=1代入可求c
（2）由題意得2xf(x)-

t

g(x)

＞0即

2x2

x2+1

-tx＞0整理得x(x2-

2

t

x+1)＜0，解不等式可得x的范圍

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）恒成立
即 

-x-a

x2-bx+c

=

-x+a

x2+bx+c

恒成立⇒a=b=0，此時(shí)f(x)=

x

x2+c

令m=n=1⇒2f(1)=1⇒f(1)=

1

1+c

=

1

2

⇒c=1
（2）由題意得2xf(x)-

t

g(x)

＞0即

2x2

x2+1

-tx＞0整理得x(x2-

2

t

x+1)＜0
1°當(dāng)△=

4

t2

-4＞0即0＜t＜1時(shí)，x∈(-∞，0)∪(

1- 1-t2

t

，

1+ 1-t2

t

)
2°當(dāng)△=0即t=1時(shí)，x∈（-∞，0）
3°當(dāng)t＞1時(shí)，x∈（-∞，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇函數(shù)的定義的應(yīng)用及利用賦值求解函數(shù)的函數(shù)值，二次不等式的求解等知識(shí)的綜合應(yīng)用．