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        1. 已知無窮數(shù)列{an}中,a1,a2,…,an是首項(xiàng)為10,公差為-2的等差數(shù)列;an+1,an+2,…,a2n是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列(m≥3,m∈N*),并對任意n∈N*,均有an+2n=an成立.
          (1)當(dāng)m=12時,求a2012
          (2)若a52=,試求m的值;
          (3)判斷是否存在m,使S128m+3≥2012成立,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
          【答案】分析:(1)由題意,an+24=an,可得a2012=a20,從而a20是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列的第8項(xiàng),可求a2012;
          (2)先確定m≥7,利用a52=,,可得(2k+1)m=45,進(jìn)而分類討論,即可求m的值;
          (3)先計(jì)算S128m+3,再將S128m+3≥2012等價變形,從而可得704m-64m2≥1924+64×,確定左右兩邊的最值,即可得到結(jié)論.
          解答:解:(1)由題意,an+24=an,∴a2012=a20
          ∴a20是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列的第8項(xiàng),
          ∴a2012=
          (2)∵,∴m≥7
          ∵a52=
          ∴2km+m+7=(2k+1)m+7=52,其中m≥7,m∈N,k∈N
          ∴(2k+1)m=45,
          當(dāng)k=0時,m=45,成立;當(dāng)k=1時,m=15,成立;當(dāng)k=2時,m=9成立;當(dāng)k≥3時,m≤<7
          ∴m可取9、15、45;
          (3)S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64{10m++}+10+8+6
          ∴S128m+3=704m-64m2+88-64×≥2012
          ∴704m-64m2≥1924+64×
          設(shè)f(m)=704m-64m2,g(m)=1924+64×,g(m)>1924;
          f(m)=-64(m2-11m),對稱軸m=,
          所以f(m)在m=5或6時取最大f(x)max=f(5)=f(6)=1920,
          因?yàn)?924>1920,所以不存在這樣的m.
          點(diǎn)評:本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確理解無窮數(shù)列是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知無窮數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=
          13
          an-1
          ,則數(shù)列{an}的各項(xiàng)和為
           

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          已知無窮數(shù)列{an}中a1=1,且滿足從第二項(xiàng)開始每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值為同一個常數(shù)-
          1
          2
          ,則無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)和
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          2
          3

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          3
          a
          ,則a=
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          (2008•普陀區(qū)二模)已知無窮數(shù)列{an}中,a1,a2,…,am是以10為首項(xiàng),以-2為公差的等差數(shù)列;am+1,am+2,…,a2m是以
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          為首項(xiàng),以
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          為公比的等比數(shù)列(m≥3,m∈N*);并且對一切正整數(shù)n,都有an+2m=an成立.
          (1)當(dāng)m=3時,請依次寫出數(shù)列{an}的前12項(xiàng);
          (2)若a23=-2,試求m的值;
          (3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,問是否存在m的值,使得S128m+3≥2008成立?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

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          已知無窮數(shù)列{an}中,a1,a2,…,am構(gòu)成首項(xiàng)為2,公差為-2的等差數(shù)列am+1,am+2,…,a2m,構(gòu)成首項(xiàng)為
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          ,公比為
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          的等比數(shù)列,其中m≥3,m∈N+
          (l)當(dāng)1≤n≤2m,n∈N+,時,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)若對任意的n∈N+,都有an+2m=an成立.
          ①當(dāng)a27=
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          時,求m的值;
          ②記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.判斷是否存在m,使得S4m+1≥2成立?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

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