Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+4），當x∈[6，8]時，f（x）=cos（x-6）
（1）求x∈[-2，2]時，f（x）的表達式；
（2）若f(sinθ+cosθ)＞f(

1+2sin2θ

)(θ∈R)，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用函數(shù)的周期性求出x∈[-2，0]時函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)x∈（0，2]時的解析式，即可得函數(shù)f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）利用函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)此函數(shù)在[-2，2]上自變量的絕對值越小函數(shù)值越大，故將不等式轉(zhuǎn)化為絕對值三角不等式，即可解得θ的范圍．

解答：解：（1）設(shè)x∈[-2，0]，則x+8∈[6，8]，
∴f（x+8）=cos（x+2）
∵f（x）=f（x+4），
∴f（x+8）=f（x+4）=f（x）
∴x∈[-2，0]時，f（x）=cos（x+2）
設(shè)x∈（0，2]，則-x∈[-2，0），
∴f（-x）=cos（-x+2）
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）
∴x∈（0，2]時，f（x）=cos（-x+2）
∴f（x）=

cos(x+2)  x∈[-2，0] cos(-x+2)  x∈(0，2]

（2）∵-2＜sinθ+cosθ＜2，-2＜

1+2sin2θ

＜2
且由（1）知f（x）在[-2，0）上為增函數(shù)，在（0，2）上為減函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱
∴f(sinθ+cosθ)＞f(

1+2sin2θ

)(θ∈R)
?|sinθ+cosθ|＜|

1+2sin2θ

|
?（sinθ+cosθ）²＜1+2sin²θ
?1+sin2θ＜1+1-cos2θ
?sin2θ+cos2θ＜1
?

2

sin（2θ+

π

4

）＜1
?sin（2θ+

π

4

）＜

2

2

∴-

5π

4

+2kπ＜2θ+

π

4

＜2kπ+

π

4

  （k∈Z）
∴-

3π

4

+kπ＜θ＜kπ  （k∈Z）

點評：本題考查了利用函數(shù)的周期性和對稱性求函數(shù)解析式的方法，綜合利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法，三角不等式的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法