Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比不為1，其前n項和為S_n，若向量向量

i

=（a₁，a₂），

j

=（a₁，a₃），

k

=（-1，1），滿足（4

i

-

j

）•

k

=0，則

S5

a1

=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的向量的坐標，寫出向量的坐標，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為零，得到關(guān)于數(shù)列的前三項之間的關(guān)系，約去首項得到關(guān)于公比的一元二次方程，把要求的比值代入前n項和，約分代入結(jié)果．

解答：解：∵向量

i

=（a₁，a₂），

j

=（a₁，a₃），

k

=（-1，1），
∴（4

i

-

j

）=（3a₁，4a₂-a₃），
∴（4

i

-

j

）•

k

=-3a₁+4a₂-a₃=0
∴3a₁+a₃=4a₂，
∴3+q²=4q，
∴q²-4q+3=0，
∵等比數(shù)列{a_n}的公比不為1，
∴q=3，
∴

S5

a1

=

1-q5

1-q

=

1-243

1-3

=121，
故答案為：121．

點評：本題考查向量的數(shù)量積和等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，若已知等比數(shù)列的三項之間的關(guān)系，則等比數(shù)列的所有量都可以求出，只要簡單數(shù)字運算時不出錯，問題可解．