Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，F(xiàn)分別是AC、BB₁、CC₁的中點(diǎn)，
（1）求證：AE∥平面BDF；
（2）若AB=BC=AA₁=2，∠ABC=90°，求二面角A₁-BF-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證AE∥平面BDF，只需在平面BDF內(nèi)找到一條直線與AE平行即可，因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，可思考連結(jié)CE，交BF于K，連結(jié)DK后利用三角形中位線知識(shí)證線線平行，從而得到線面平行；
（2）由已知條件證出A₁D⊥平面BDF，過D作DG⊥BF于G，連A₁G，則∠A₁GD為所求的二面角的平面角，然后利用求解直角三角形的知識(shí)求二面角A₁-BF-D的余弦值．

解答：（1）證明：如圖，連CE交BF于K，連DK，EF，
∵BE∥CF，且BE=CF，∴四邊形BEFC是平行四邊形，∴K為CE的中點(diǎn)，
又D為AC的中點(diǎn)，∴DK∥AE，
∵DK?平面BDF，AE?平面BDF，
∴AE∥平面BDF；
（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，又AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，A₁D?平面，∴A₁D⊥BD．
由AB=BC=AA₁=2，∠ABC=90°，可求得AD2=A1A2+AD2=4+(

2

)2=6
DF2=DC2+CF2=(

2

)2+1=3，A1F2=A1C12+C1F2=(2

2

)2+1=9．
所以A₁D⊥DF，又BD∩DF=D，∴A₁D⊥平面BDF，
過D作DG⊥BF于G，連A₁G，則∠A₁GD為所求的二面角的平面角．
在Rt△BDF中，BD=

2

，DF=

3

，BF=

5

，∴DG=

6

5

∵A1D=

6

，∴tan∠A1GD=

A1D

DG

=

5

，cos∠A1GD=

6

6

．
∴所求的二面角的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和平面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，解答此題的關(guān)鍵是找二面角的平面角，“尋找垂面，構(gòu)造垂線”是找二面角平面角的常用方法，此題是中檔題．