Question

給出下列四個(gè)命題：
①若z∈C，|z|²=z²，則z∈R；        
②若z∈C，

.

z

=-z，則z是純虛數(shù)；
③若z∈C，|z|²=zi，則z=0或z=i；   
④若z₁，z₂∈C，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|則z₁z₂=0．其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①令z=a+bi，則|z|²=a²+b²，z²=a²-b²+2abi，結(jié)合題中條件可得b=0，此時(shí)z為實(shí)數(shù)；
②令z=a+bi，當(dāng)

.

z

=-z時(shí)，a=0，可得z可能是實(shí)數(shù)0也可能是純虛數(shù)．
③令z=a+bi，當(dāng)|z|²=a²+b²=ai-b時(shí)，可得z=0或z=-i．
④令z₁=1+i，z₂=1-i，若滿足題中的條件則z₁z₂≠0．

解答：解：①若z∈C，令z=a+bi，則|z|²=a²+b²，z²=a²-b²+2abi，若|z|²=z²，則b=0，此時(shí)z為實(shí)數(shù)，所以①正確；
②若z∈C，令z=a+bi，當(dāng)

.

z

=-z時(shí)，a=0，所以z=bi，則z可能是實(shí)數(shù)0也可能是純虛數(shù)，所以②錯(cuò)誤；
③若z∈C，令z=a+bi，當(dāng)|z|²=a²+b²=ai-b時(shí)，則有a=0，b=0或b=-1，可得z=0或z=-i，所以③錯(cuò)誤；
④若z₁，z₂∈C，令z₁=1+i，z₂=1-i，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，則z₁z₂≠0，所以④錯(cuò)誤；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握復(fù)數(shù)的基本概念與復(fù)數(shù)模的計(jì)算方法，以及復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則，解題方法一般是設(shè)z=a+bi再代入相關(guān)的方程得到關(guān)于a，b的方程，求出a，b的值即可解決問(wèn)題．