Question

（本小題12分）如圖，已知平面，，為等邊三角形，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求直線和平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.（3）直線和平面所成角的正弦值為 .

【解析】(1)解本題的關(guān)鍵是在平面BEC內(nèi)構(gòu)造出一條與AF平行的平行線。取的中點(diǎn)，連、，然后證明四邊形BGFA為平行四邊形即可。

(2) 關(guān)鍵是證：平面，即證：平面,即CD的中點(diǎn)F，即證：和即可。

(3)解本小題的關(guān)鍵是找出線面角。在平面內(nèi)，過(guò)作于，連

∵平面平面，∴平面，

∴為和平面所成的角。然后解三角形即可。 

（1）證明：取的中點(diǎn)，連、．

∵為的中點(diǎn)，∴且

∵平面，平面.

∴，∴

又，∴

∴四邊形為平行四邊形，因此

∵平面，平面.

∴平面                               …………………………………4分

（2）證明：∵是等邊三角形，為的中點(diǎn)，

∴  ∵平面，平面，∴

又，故平面

∵，∴平面

∵平面，

∴平面平面        ………………………………………………………8分

（3）解：在平面內(nèi)，過(guò)作于，連

∵平面平面，∴平面

∴為和平面所成的角            ………………………………10分

設(shè)，則

，

中，

∴直線和平面所成角的正弦值為………………………………………12分

（用空間向量法解答對(duì)應(yīng)給分）