Question

已知拋物線y²=4x，過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且直線l與x交于點(diǎn)C．
（1）求證：|MA|，|MC|、|MB|成等比數(shù)列；
（2）設(shè)，，試問(wèn)α+β是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比數(shù)列，從而解決問(wèn)題．
（2）由，得，，，從而利用x₁，x₂，及k來(lái)表示α，β，最后結(jié)合（1）中根系數(shù)的關(guān)系即得故α+β為定值．
解答：解：（1）設(shè)直線l的方程為：y=kx+2（k≠0），
聯(lián)立方程可得得：k²x²+（4k-4）x+4=0①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，
則，②，
而，
∴|MC|²=|MA|•|MB|≠0，
即|MA|，|MC|、|MB|成等比數(shù)列（7分）
（2）由，得，，
即得：，，
則
由（1）中②代入得α+β=-1，
故α+β為定值且定值為-1（13分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比關(guān)系的確定、向量坐標(biāo)的應(yīng)用、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．