Question

已知曲線

x=- 1 2 +3t y=1+4t

（t為參數(shù)）與曲線

x=2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）的交點為A，B，，則|AB|=

 

．

Answer 1

分析：把兩曲線化為普通方程，分別得到直線與圓的方程，設(shè)出交點A與B的坐標，聯(lián)立直線與圓的解析式，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理求出兩根之和與兩根之積，利用兩點間的距離公式表示出|AB|，利用完全平方公式變形，將兩根之和與兩根之積代入即可求出值．

解答：解：把曲線

x=- 1 2 +3t y=1+4t

化為普通方程得：

x+ 1 2

3

=

y-1

4

，即4x-3y+5=0；
把曲線

x=2cosθ y=2sinθ

化為普通方程得：x²+y²=4，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁-y₂=

4

3

（x₁-x₂），
聯(lián)立得：

4x-3y+5=0① x2+y2=4②

，消去y得：25x²+40x-11=0，
∴x₁+x₂=-

8

5

，x₁x₂=-

11

25

，
則|AB|=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

25 9 (x1-x2) 2

=

5

3

(x1+x1) 2-4x1x2

=2

3

．
故答案為：2

3

點評：此題綜合考查了直線與圓參數(shù)方程與普通方程的互化，直線與圓的綜合，韋達定理及兩點間的距離公式．此題難度比較大，要求學生熟練運用所學的知識解決數(shù)學問題．