Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（ax-3），若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，則正數(shù)a的范圍

 

．

Answer 1

分析：先對函數(shù)f（x）進行求導表示出函數(shù)g（x），然后對函數(shù)g（x）求導，令導函數(shù)等于0求出x，確定極值點，最后求出端點值和極點值比較大小即可得到答案．

解答：解：∵f（x）=x²（ax-3）=ax³-3x²，∴f'（x）=3ax²-6x，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=ax³+（3a-3）x²-6x
∴g'（x）=f'（x）=3ax²+6（a-1）x-6，
令g'（x）=0，方程的另個根為x_1，2=

1-a± a2+1

a

，因為a是正數(shù)，所以x1x2=

-6

3a

=-

2

a

＜0，
即

1-a- a2+1

a

＜0，

1-a+ a2+1

a

＞0
又g（0）=0，g（2）=20a-24，
當0＜

1-a+ a2+1

a

≤2時，a≥

3

4

，由于g（x）在區(qū)間[0，2]先減后增，
當g（0）=0≥g（2）=20a-24時，a≤

6

5

∴

3

4

≤a≤

6

5

當

1-a+ a2+1

a

＞2即a＜

3

4

時，由于g（x）在區(qū)間[0，2]減，
顯然有g（0）=0＞g（2）=20a-24成立，解得a＜

6

5

∴a＜

3

4

綜上所述，0＜a≤

6

5

故答案為：0＜a≤

6

5

點評：本題主要考查函數(shù)的求導運算、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．導數(shù)是由高等數(shù)學下放到高中的內容，是高中新增的內容，每年必考，要引起重視．