Question

已知函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，且當x∈（-∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立．若a=（2^0.2）•f（2^0.2），b=（ln2）•f（ln2），c=（log₂

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）•f（log₂

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），則a，b，c的大小關(guān)系是（　　）

A．a(chǎn)＞b＞c

B．b＞a＞c

C．c＞a＞b

D．a(chǎn)＞c＞b

Answer 1

分析：由y=f（x-1）的圖象關(guān)點（1，0）對稱，知f（x）是奇函數(shù)；令g（x）=xf（x），得g（x）是偶函數(shù)；由x∈（-∞，0）時，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，得函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）上單調(diào)遞減，從而得g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；再由-log₂

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=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大�。�

解答：解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）對稱，
∴f（x）是奇函數(shù)，∴xf（x）是偶函數(shù)．
設(shè)g（x）=xf（x），當x∈（-∞，0）時，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵-log₂

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=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，∴g（-log₂

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）＞g（2^0.2）＞g（ln2）；
又g（-log₂

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）=g（log₂

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），即（log₂

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）•f（log₂

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）＞（2^0.2）•f（2^0.2）＞（ln2）•f（ln2）；
∴c＞a＞b．
故選：C．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與奇偶性關(guān)系以及用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）并求導，屬于易出錯的題目．