Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z）是奇函數(shù)，又f（1）=2，f（2）＜3且f（x）在[1，+∞）上遞增，
（1）求a，b，c的值；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）恒成立，即可求得c的值，再根據(jù)又f（1）=2，f（2）＜3，且a，b，c∈Z，即可取得a和b的值，從而得到答案；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到f（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判定函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
∴

ax2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

=

ax2+1

-bx-c

恒成立，
∴c=-c，即c=0，
即f（x）=

ax2+1

bx

，
∵f（1）=2，∴

a+1

b

=2，
∵f（2）＜3，即 

4a+1

2b

＜3，①
∵

a+1

b

=2，則b=

a+1

2

代入①，
∴

4a+1

a+1

＜3，即

a-2

a+1

＜0，
解得-1＜a＜2，
又∵f（x）在[1，+∞）上遞增，
∴f（1）=2＜f（2）即2＜

4a+1

2b

=

4a+1

a+1

，解得a＞

1

2

或a＜-1，
綜上所述

1

2

＜a＜2，
∵a∈Z，
∴a=1，b=

a+1

2

=1，c=0；
（2）由（1）知f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，（x＜0），
∴f′（x）=1-

1

x2

，
令f′（x）＞0，解得x＜-1，即函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜0，即函數(shù)f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），減區(qū)間為（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．已知函數(shù)的奇偶性，則一定滿(mǎn)足函數(shù)奇偶性的定義．對(duì)于奇函數(shù)，如果定義域中能取到0，則利用f（0）=0解題更為方便．函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡(jiǎn)，定號(hào)，下結(jié)論．屬于中檔題．