Question

【題目】如圖1，在高為2的梯形ABCD中，，，，過A、B分別作，，垂足分別為E、已知，將D、C沿AE、BF折向同側(cè)，得空間幾何體，如圖2．

若，求證：；

若，線段AB的中點(diǎn)是P，求CP與平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

由已知得四邊形ABEF是正方形，且邊長為2，取BE與AF的交點(diǎn)為O，推導(dǎo)出，，從而平面BDE，進(jìn)而，再由，得平面ABEF，從而．

以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EF為y軸，ED為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出CP與平面ACD所成角的正弦值．

證明：由已知得四邊形ABEF是正方形，且邊長為2

在圖2中，取BE與AF的交點(diǎn)為O，則，

由已知得，，平面BDE，

又平面BDE，，

又，，平面ABEF，

又平面ABEF，．

解：以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EF為y軸，ED為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

2，，1，，0，，

0，，

，0，，2，，

設(shè)平面ACD的法向量y，，

則，

取，得，

設(shè)CP與平面ACD所成角為．

則．

與平面ACD所成角的正弦值為．