Question

設(shè)雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為e，右準(zhǔn)線(xiàn)l與兩條漸近線(xiàn)交于P，Q兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，且△PQF為等邊三角形．
（1）求雙曲線(xiàn)C的離心率e的值；
（2）若雙曲線(xiàn)C被直線(xiàn)y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為

b2e2

a

，求雙曲線(xiàn)C的方程；
（3）設(shè)雙曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），以F為左焦點(diǎn)，L為左準(zhǔn)線(xiàn)的橢圓，其短軸的端點(diǎn)為B，求BF中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）求出準(zhǔn)線(xiàn)與漸近線(xiàn)的交點(diǎn)P，Q，求出線(xiàn)段PQ的距離，△PQF為等邊三角形建立方程求出a，b的關(guān)系，與c²=a²+b²聯(lián)立求e．
（2）利用弦長(zhǎng)公式建立關(guān)于方程，再結(jié)合（1）的結(jié)論解a，b的值．
（3）雙曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），結(jié)合（1）的結(jié)論，求出曲線(xiàn)C的方程，利用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)求出準(zhǔn)線(xiàn)方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義建立方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式即可．

解答：解：（1）右準(zhǔn)線(xiàn)l：x=

a2

c

，兩條漸近線(xiàn)方程是y=±

b

a

x，二者聯(lián)立得，y=±

ab

c

又△PQF為等邊三角形
∴

ab c

c- a2 c

=

3

3

得b=

3

a，即c²-a²=3a²，
∴c=2a，
即e=2
（2）有（1）b=

3

a，故雙曲線(xiàn)的方程可以變?yōu)?x²-y²=3a²
將y=ax+b代入得3x²-（ax+b）²=3a²
整理得（3-a²）x²-2

3

a²x-6a²=0
所以?xún)筛�之和�?span id="mfbgexe" class="MathJye">

2 3 a2

3-a2

，兩根之積為-

6a2

3-a2

由弦長(zhǎng)公式得

4b2

a

=

1+a2

|x₁-x₂|=

1+a2

×

( 2 3 a2 3-a2 )2+4× 6a2 3-a2

解得a²=

9

7

，b²=

27

7

故雙曲線(xiàn)的方程是

x2

9 7

-

y2

27 7

=1
（3）有（1）b=

3

a，故雙曲線(xiàn)的方程可以變?yōu)?x²-y²=3a²
又雙曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），所以 a=1，c=2

2-e2

2(1-e2)

故F（2，0），左準(zhǔn)線(xiàn)L：x=

1

2

設(shè)橢圓上一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由橢圓的第二定義得

(x-1)2+y2

x-1

=e，整理得

(x+ e2-2 2(1-e2) )2

1 1-e2

+y2=1
若點(diǎn)B是上端點(diǎn)，則B（

2-e2

2(1-e2)

，1），
故BF中點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）所滿(mǎn)足的方程是

x= 2-e2 1-e2 y= 1 2

（0＜e＜1）

點(diǎn)評(píng)：考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系中的求弦長(zhǎng)，代入法求軌跡方程的相關(guān)知識(shí)與方法，題目難度較大，不易轉(zhuǎn)化．綜合性較強(qiáng)