Question

已知△OPQ的面積為S，且·=1，=m，S=m，以O(shè)為中心，P為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q.

(1)當(dāng)m∈(1，2)時(shí)，求||的最大值，并求出此時(shí)的橢圓C方程；

(2)在(1)的條件下，過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，與橢圓C對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)P的準(zhǔn)線相交于D點(diǎn)，且=λ₁，=λ₂請(qǐng)找出λ₁、λ₂之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

分析：(1)先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立||關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再求||最大值m的值，從而求橢圓方程.

(2)可先由特殊情況(如k=0)時(shí)尋找λ₁、λ₂的關(guān)系，再證過(guò)點(diǎn)p的直線斜率為k時(shí)，都有λ₁、λ₂滿(mǎn)足k=0時(shí)λ₁、λ₂的關(guān)系式.

解：(1)以O(shè)為原點(diǎn)，OP所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則p(m，0)，設(shè)Q(x₀、y₀)，則=(x₀-m，y₀).

∵·=1，S=m，∴mx₀-m²=1，∴x_O=m+.

    又m·|y₀|=m，∴|y₀|=，∴=.

    設(shè)t=m²+,m∈(1，2)，∵t′=2m-＞0，∴t在(1，2)上為增函數(shù)，∴當(dāng)m=2時(shí)t最大，即||最大.

    此時(shí)P(2，0)，另一焦點(diǎn)P′(-2，0)，∴橢圓方程為=1.

    當(dāng)k=0時(shí)，M(a，0)，N(-a，0),∴λ₁=,λ₂=-.∴λ₁+λ₂=0.

(2)法一：當(dāng)k≠0時(shí)設(shè)直線l：y=k(x-2)，

    由消去y得=1，

    即(3+5k²)x²-20k²x+20k²-30=0.

    設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則x₁+x₂=，x₁·x₂=.

∵=λ₁,∴2-x₁=λ₁(x₂-2).=λ₂，∴-5-x₁=λ₂(x₂+5).∵k≠0，∴x₂≠2，x₂≠-5.∴λ₁=，λ₂=.

∴λ₁+λ₂=

=+20=0.

法二：P為橢圓的右焦點(diǎn)，m為右準(zhǔn)線，如圖.

    則MP=ｅMM′，NP=ｅNN′，

∵=λ₁，

∴λ₁=.

=λ₂，

λ₂=-=-，

∴λ₁+λ₂=0.

評(píng)述：①由a=λb得|λ|=，λ的符號(hào)取決于a與b的方向.②對(duì)于過(guò)焦點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交時(shí).若涉及求焦點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離問(wèn)題時(shí)，用第二定義比較簡(jiǎn)單.