Question

函數(shù)f(x)=sin2x+

3

cos2x的最大值記為M，周期為

π

a

，則函數(shù)g（t）=t²（t-a）在區(qū)間[0，M]上的最大值為（　�。�

• A．1
• B．0
• C．-

  4

  27

• D．4

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)解析式為2sin（2x+

π

3

），由此求得最大值M，根據(jù)周期的值求出a的值，利用導(dǎo)數(shù)求
出函數(shù)g（t）=t²（t-1）在[0，2]上的最大值．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=sin2x+

3

cos2x=2（

1

2

sin2x+ 

3

2

cos2x）=2sin（2x+

π

3

），
故函數(shù)的最大值M=2，周期為

π

a

=

2π

2

，∴a=1．
故函數(shù)g（t）=t²（t-a）=t²（t-1），區(qū)間[0，M]即[0，2]．
g′（t）=3t²-2t，故當(dāng)t∈（0，

1

3

）上時，g′（t）＜0，當(dāng)t∈（

1

3

，2]上時，g′（t）＞0．
故函數(shù)在∈（0，

1

3

）上是減函數(shù)，在∈（

1

3

，2]上是增函數(shù)．
故函數(shù)的最大值為g（0）或g（2）．
再由g（0）=0，g（2）=4 可得，函數(shù)g（t）=t²（t-a）在區(qū)間[0，M]上的最大值為4，
故選D．

點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，屬于中檔題．