Question

已知函數(shù) (＞0)的圖象在點處的切線方程為.
(1)用表示；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍；
(3)證明：1+++…+＞+.

Answer 1

（Ⅰ）  （II）     (Ⅲ)見解析

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得就可得到用表示的式子；（2）若在上恒成立，即在上恒成立。構(gòu)造函數(shù)，利用，再討論的取值范圍研究的單調(diào)性使的最小值大于等于0可得的取值范圍；
（3）由（2）知當(dāng)時,有,  () 若,有。結(jié)合要證的結(jié)論，令，。分別把的值代入，得到個不等式依次相加得整理即得結(jié)論。本題是與自然數(shù)有關(guān)的問題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明
（Ⅰ） ，則有，解得…3分
（II）由（Ⅰ）知，
令，
則，……4分
(ⅰ)當(dāng)時,,
若,則,單調(diào)遞減，所以即,
故在上不恒成立. …………6分
(ⅱ) 當(dāng)時,,
若,則,是增函數(shù),所以
即,故當(dāng)時,. …………8分
綜上所述,所求的取值范圍為…………9分
(Ⅲ)解法一:
由(Ⅱ)知,當(dāng)時,有,  ()
令,有且當(dāng)時, ……10分
令,有
即, …………12分
將上述個不等式依次相加得
整理得…………14分
解法二: 用數(shù)學(xué)歸納法證明
(1) 當(dāng)時,左邊,右邊, 不等式成立.…………10分
(2) 假設(shè)時, 不等式成立, 就是

那么
由(Ⅱ)知,當(dāng)時,有,  ()
令,有,  ()
令,有
所以
即
這就是說，當(dāng)時, 不等式也成立。…………13分
根據(jù)(1)和(2)，可知不等式對任何都成立。