Question

已知函數(shù)f(x)=2x-

k

x

+

k

3

（k∈R）．
（1）若集合{x|f（x）=x，x∈R}中有且只有一個(gè)元素，求k的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x，變形為二次方程，根據(jù)△=0，求參數(shù)k的值；
（2）由增函數(shù)的定義知對(duì)任意的1＜x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）＜0，由此不等式得到k的關(guān)系式，求解即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=x得x2+

k

3

x-k=0，由△=0，解得k=-36或k=0（舍），∴k=-36
（2）設(shè)1＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(2x1x2+k)

x1x2

＜0∴2x1x2+k＞0，
∴k＞-2x₁x₂，
∵-2x₁x₂＜-2，
∴k≥-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將題設(shè)中所給的條件進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化如（1）中，轉(zhuǎn)化一元二次方程有一根，（2）根據(jù)增函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化出關(guān)于參數(shù)的不等式．本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的能力．