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        1. 【題目】已知函數(shù)f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R.
          (1)若a=0,判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性,并加以證明;
          (2)若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)若存在實(shí)數(shù)a∈[﹣2,2],使得關(guān)于x的方程f(x)﹣tf(2a)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

          【答案】
          (1)解:函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù).

          理由:當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x|x|+2x,

          f(﹣x)=﹣x|x|﹣2x=﹣f(x),

          ∴函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)


          (2)解:f(x)=

          當(dāng)x≥2a時(shí),f(x)的對稱軸為:x=a﹣1;

          當(dāng)x<2a時(shí),y=f(x)的對稱軸為:x=a+1;

          ∴當(dāng)a﹣1≤2a≤a+1時(shí),f(x)在R上是增函數(shù),

          即﹣1≤a≤1時(shí),函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)


          (3)解:方程f(x)﹣tf(2a)=0的解即為方程f(x)=tf(2a)的解.

          ①當(dāng)﹣1≤a≤1時(shí),函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),

          ∴關(guān)于x的方程f(x)=tf(2a)不可能有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

          ②當(dāng)a>1時(shí),即2a>a+1>a﹣1,

          ∴f(x)在(﹣∞,a+1)上單調(diào)增,

          在(a+1,2a)上單調(diào)減,在(2a,+∞)上單調(diào)增,

          ∴當(dāng)f(2a)<tf(2a)<f(a+1)時(shí),

          關(guān)于x的方程f(x)=tf(2a)有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

          即4a<t4a<(a+1)2,

          ∵a>1,

          ∴1<t< (a+ +2).

          設(shè)h(a)= (a+ +2),

          ∵存在a∈[﹣2,2],

          使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(2a)有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

          ∴1<t<h(a)max,

          又可證h(a)= (a+ +2)在(1,2]上單調(diào)增,

          ∴<h(a)max= ,

          ∴1<t<

          ③當(dāng)a<﹣1時(shí),即2a<a﹣1<a+1,

          ∴f(x)在(﹣∞,2a)上單調(diào)增,

          在(2a,a﹣1)上單調(diào)減,在(a﹣1,+∞)上單調(diào)增,

          ∴當(dāng)f(a﹣1)<tf(2a)<f(2a)時(shí),

          關(guān)于x的方程f(x)=tf(2a)有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

          即﹣(a﹣1)2<t4a<4a,

          ∵a<﹣1,

          ∴1<t<﹣ (a+ ﹣2),

          設(shè)g(a)=﹣ (a+ ﹣2),

          ∵存在a∈[﹣2,2],使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(2a)有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

          ∴1<t<g(a)max,

          又可證g(a)=﹣ (a+ ﹣2)在[﹣2,﹣1)上單調(diào)減,

          ∴g(a)max= ,

          ∴1<t<

          綜上:1<t<


          【解析】(1)若a=0,根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)根據(jù)方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論.
          【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識,掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】若x>0,則函數(shù) 與y2=logax(a>0,且a≠1)在同一坐標(biāo)系上的部分圖象只可能是(
          A.
          B.
          C.
          D.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】某百貨公司1~6月份的銷售量x與利潤y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:

          月份

          1

          2

          3

          4

          5

          6

          銷售量x(萬件)

          10

          11

          13

          12

          8

          6

          利潤y(萬元)

          22

          25

          29

          26

          16

          12

          (參考公式: = )=
          (1)根據(jù)2~5月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸直線方程
          (2)若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2萬元,則認(rèn)為得到的回歸直線方程是理想的,試問所得回歸直線方程是否理想?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,y均有f(x)=f( )+f( ).當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0
          (1)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性并證明;
          (2)設(shè)函數(shù)g(x)與函數(shù)f(x)的奇偶性相同,當(dāng)x≥0時(shí),g(x)=|x﹣m|﹣m(m>0),若對任意x∈R,不等式g(x﹣1)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】設(shè)f(x)= ,若規(guī)定<x>表示不小于x的最小整數(shù),則函數(shù)y=<f(x)>的值域是(
          A.{0,1}
          B.{0,﹣1}
          C.{﹣1,1}
          D.{﹣1,0,1}

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,點(diǎn)A,B是單位圓O上的兩點(diǎn),A,B點(diǎn)分別在第一,而象限,點(diǎn)C是圓O與x軸正半軸的交點(diǎn),若∠COA=60°,∠AOB=α,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣ , ).
          (1)求sinα的值;
          (2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P沿圓弧從C點(diǎn)到A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)需要2秒鐘,求動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始逆時(shí)針方向作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數(shù),記{x}=x[x],若a∈(0,1),且 ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】函數(shù)f(x)=ln ,則f(x)是(
          A.奇函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減
          B.奇函數(shù),且在(0,+∞)上單凋遞增
          C.偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減
          D.偶函數(shù),且在(0,+∞)上單凋遞增

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一周期內(nèi),當(dāng)x= 時(shí),f(x)取得最大值3,當(dāng)x=﹣ 時(shí),f(x)取得最小值﹣3. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
          (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

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