Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條定長為m的線段，其端點(diǎn)A、B分別在x、y軸上滑動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M滿足=λ（λ是不等于1的正常數(shù)），試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得||，||，||成等差數(shù)列？若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

解:設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x,y）,A(a,0),B(0,b).則a²+b²=m².由=得∴∴(1+λ)²x²+()²y²=m²,即=1.

    由λ＞0且λ≠1知點(diǎn)M的軌跡為橢圓.

    假如存在兩點(diǎn)E、F，使||，||，||成等差數(shù)列，則2||=||+||，因m、λ為定值，故2||=是定值，即和||+||為定值，故E、F應(yīng)為橢圓的焦點(diǎn)，且為長軸長，于是＞,即0＜λ＜1.

    所以，當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，存在兩定點(diǎn)E、F，它們分別為橢圓=1的兩焦點(diǎn)（m,0）及（-m,0）;當(dāng)λ＞1時(shí)，＞,M的軌跡是橢圓，半長軸長為,同時(shí)由假設(shè)半長軸又為，矛盾，故此時(shí)不存在定點(diǎn)E、F.