Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體；存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立．

(1)函數(shù)f(x)＝x是否屬于集合M？說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a^x(a＞0，且a≠1)的圖象與y＝x的圖象有公共點，證有：f(x)＝a^x∈M；

(3)若函數(shù)f(x)＝sinkx，x∈M，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　(1)對于非零常數(shù)T，f(x＋T)＝x＋T，Tf(x)＝Tx． 　　因為對任意x∈R，x＋T＝Tx不能恒成立， 　　所以f(x)＝xM． 　　(2)因為函數(shù)f(x)＝ax(a＞0且a≠0)的圖象與函數(shù)y＝x的圖象有公共點， 　　所以方程組有解，消去y得ax＝x， 　　顯然x＝0不是方程ax＝x的解，所以存在非零常數(shù)T，使aT＝T．于是對于f(x)＝ax，有 　　f(x＋T)＝ax+T＝aT·ax＝T·ax＝Tf(x)， 　　故f(x)＝ax∈M． 　　(3)當(dāng)k＝0時，f(x)＝0，顯然f(x)＝0∈M． 　　當(dāng)k≠0時，因為f(x)＝sinkx∈M， 　　所以存在非零常數(shù)T， 　　對任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立， 　　即sin(kx＋kT)＝Tsinkx． 　　因為k≠0時，且x∈R，所以kx∈R，kx＋kT∈R， 　　于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx＋kT)∈[－1，1]， 　　故要使sin(kx＋kT)＝Tsinkx成立，只有T＝±1． 　　當(dāng)T＝1時，sin(kx＋k)＝sinkx成立， 　　則k＝2mπ，m∈Z 　　當(dāng)T＝－1時，sin(kx－k)＝－sinkx成立． 　　即sin(kx－k＋π)＝sinkx成立， 　　則－k＋π＝2mπ，m∈Z，即K＝－(2m－1)π，m∈Z． 　　綜合得，實數(shù)k的取值范圍是{k|k＝mπ，m∈Z}．