Question

（2010•孝感模擬）設(shè)某銀行一年內(nèi)吸納儲(chǔ)戶存款的總數(shù)與銀行付給儲(chǔ)戶年利率的平方成正比，若該銀行在吸納到儲(chǔ)戶存款后即以5%的年利率把儲(chǔ)戶存款總數(shù)的90%貸出以獲取利潤(rùn)，問銀行支付給儲(chǔ)戶年利率定為多少時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)？
（注：銀行獲得的年利潤(rùn)是貸出款額的年利息與支付給儲(chǔ)戶的年利息之差．）

Answer 1

分析：設(shè)銀行支付給儲(chǔ)戶的年利率為x，銀行獲得的年利潤(rùn)為y，則y=kx²×0.9×0.05-kx²•x=0.045kx²-kx³（x＞0）．y'=0.09kx-3kx²=3kx（0.03-x），令y'=0，得x=0.03，由此能求出當(dāng)銀行支付給儲(chǔ)戶年利率為3%時(shí)，銀行可獲得的年利潤(rùn)．

解答：解：設(shè)銀行支付給儲(chǔ)戶的年利率為x，銀行獲得的年利潤(rùn)為y，
則y=kx²×0.9×0.05-kx²•x=0.045kx²-kx³（x＞0）．
y'=0.09kx-3kx²=3kx（0.03-x），
令y'=0，得x=0.03，
當(dāng)x＜0.03時(shí)，y'＞0；
 當(dāng)x＞0.03時(shí)，y'＜0．
故當(dāng)x=0.03時(shí)，y取極大值，
并且這個(gè)極大值就是函數(shù)y的最大值．
所以，當(dāng)銀行支付給儲(chǔ)戶年利率為3%時(shí)，銀行可獲得的年利潤(rùn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的生產(chǎn)實(shí)際中的具體應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意尋找數(shù)理量間的等價(jià)關(guān)系，合理地建立方程．恰當(dāng)?shù)乩�用�?dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．