Question

某建筑的金屬支架如圖所示，根據(jù)要求AB至少長(zhǎng)2.8m，C為AB的中點(diǎn)，B到D的距離比CD的長(zhǎng)小0.5m，∠BCD=60°，已知建筑支架的材料每米的價(jià)格一定，問怎樣設(shè)計(jì)AB，CD的長(zhǎng)，可使建造這個(gè)支架的成本最低？

Answer 1

分析：通過三角形中的余弦定理得到a，b的等量關(guān)系；通過換元轉(zhuǎn)化成積是定值；求和的最小值問題；再利用基本不等式解．

解答：解：設(shè)BC=am（a≥1，4），CD=bm．連接BD．則BD=b-

1

2

則在△CDB中，(b-

1

2

)2=b2+a2-2abcos60°，
∴b=

a2- 1 4

a-1

，
∴b+2a=

a2- 1 4

a-1

+2a，
設(shè)t=a-1，t≥

2.8

2

-1=0.4，
則b+2a=

(t+1)2- 1 4

t

+2(t+1)=3t+

3

4t

+4≥7，
等號(hào)成立時(shí)t=0.5＞0.4，a=1.5，b=4．
答：當(dāng)AB=3m，CD=4m時(shí)，建造這個(gè)支架的成本最低．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形；數(shù)學(xué)上的換元思想；用基本不等式求函數(shù)最值．