Question

（08年咸陽(yáng)市一模） （14分）如圖，過(guò)點(diǎn)P(1,0)作曲線(xiàn)C: 的切線(xiàn)，切點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn)在x軸上的投影是點(diǎn)；又過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為,設(shè)在x軸上的投影是；…；依此下去,得到一系列點(diǎn),,…,,…,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（Ⅰ）試求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；（用的代數(shù)式表示）

（Ⅱ）求證：

（Ⅲ）求證：（注：）.

 

Answer 1

解析： (Ⅰ) ,若切點(diǎn)是,則

切線(xiàn)方程為.                                       1分

當(dāng)n=1時(shí),切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,0),即,得

當(dāng)n>1時(shí),切線(xiàn)過(guò)點(diǎn),即,解得.

數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

故所求通項(xiàng) .                                            4分    

(Ⅱ) 由（1）知

                                                   9分

(Ⅲ)設(shè),則,

兩式相減得，

.    故.                      14分