Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q＜1，前n項(xiàng)和為S_n．已知a₃=2，S₄=5S₂，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)a₁，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式和通項(xiàng)公式分別列出a₃=2，S₄=5S₂，聯(lián)立求出a₁和q的值即可得到{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：由題設(shè)知a1≠0，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
則

a1q2=2 ① a1(1-q4) 1-q =5× a1(1-q2) 1-q ②

由②得1-q⁴=5（1-q²），（q²-4）（q²-1）=0，（q-2）（q+2）（q-1）（q+1）=0，
因?yàn)閝＜1，解得q=-1或q=-2．
當(dāng)q=-1時(shí)，代入①得a₁=2，通項(xiàng)公式a_n=2×（-1）^n-1；
當(dāng)q=-2時(shí)，代入①得a1=

1

2

，通項(xiàng)公式an=

1

2

×(-2)n-1．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，學(xué)生做題時(shí)注意a₁≠0這個(gè)條件及q值的多解性．